Подробности
28.01.2010 12:08
Страница 15 из 19

 

 

Оптимальная фильтрация случайных процессов и полей

В монографии В.Н.Фомина (Профессор В.Н.Фомин безвременно ушел из жизни 23 февраля 2000 г.) [129] изложены основные понятия теории оптимального оценивания случайных полей и разработаны методы синтеза оптимальных фильтров при обработке пакета случайных плоских волн на фоне распределенных шумов. Задачи оценивания и обнаружения полезных сигналов в наблюдаемых электромагнитных и акустических полях имеют важные приложения в теории радарных и коротковолновых средств связи, в подводной акустике, радиоастрономии, сейсмологии, геофизике и в системах телевизионного слежения.

В [129] подробно описаны прикладные задачи, связанные с моделированием электромагнитного поля в выделенных областях пространства и свойствами резонаторов и волноводов.

Основным объектом изучения является обобщенное случайное поле с заданным множеством особенностей в пространстве. Определяются понятия линейного фильтра в классе обобщенных полей, а также основных свойств таких фильтров: физическая реализуемость, устойчивость, глубина прогноза и пр.

К наиболее важным в прикладных задачах относится класс авторегрессионных случайных полей, а также модели авторегрессии - скользящего среднего (ARMA модели). При переходе от одномерных случайных процессов к многомерным случайным полям многие постановки задач оценивания обобщаются непосредственно, но в других возникают принципиально новые проблемы. Центральное понятие неупреждаемости оценок и обновляющего процесса в одномерном случае опирается на полную упорядоченность вещественной прямой и на возможность разделение "прошлого" и "будущего". При переходе к многомерным полям упорядоченность теряется, и даже такие базовые вопросы, как задача Коши для авторегрессионного уравнения, требуют введения новых предствлений о начальных данных.

В [129, глава 1] для устойчивого ARMA-процесса на дискретной решетке сформулирована задача Коши. Определено множество начальных данных по отношению к положительному конусу в Rn и заданной границе формирования поля. Явно написана формула для решения уравнения через начальные данные и обновляющий процесс.

С отсутствием естественной упорядоченности на многомерной решетке связана и другая, наиболее важная в приложениях проблема обработки сигналов. Известные спектральные методы решения линейно-квадратичных задач оценивания и управления опираются на факторизацию спектральной плотности наблюдаемого процесса. Для стационарных случайных процессов во времени такая факторизация всегда осуществима, и получающееся решение известно как фильтр Винера-Колмогорова. Для случайных полей легко доказывается, что в даже в простейших примерах рациональной факторизации не существует и, следовательно, основной метод расчета оптимальных оценок неприменим.

В [129, глава 4] разобраны некоторые приемы построения оптимальных оценок случайных полей. Сформулированы достаточные условия существования обычной рациональной факторизации, которые выполнены для подклассов авторегрессионных уравнений. Соответственно, для них вычислены параметры оптимальных фильтров и полностью описана процедура сепарации, составляющая вторую часть стандартного алгоритма спектрального решения линейно-квадратичной задачи. В более общей ситуации, когда конус "предыдущих" значений является полупространством, доказано утверждение о существовании спектральной факторизации, которая рассчитывается методом кебстров.

Особое внимание было уделено процессу моделирования и распознавания совокупности плоских волн на фоне однородных шумов, что характерно для акустических и коротковолновых антенн. В [129, глава 3] построены пространственно-временные модели сигналов на сенсорной решетке антенны. Распознаваемый сигнал является суммой плоских волн, каждая из которых задается случайным процессом. Шум измерения моделируется равномерно распределенными источниками. Статистическим методом разделения гипотез решается задача оптимального обнаружения сигнала. Метод максимума правдоподобия сводится в этом случае к максимизации отношения сигнал/шум и далее к максимизации отношения двух квадратичных форм.

Более сложной задачей является нахождение угла прихода плоских волн в принятом пакете и на фоне случайных шумов измерения. Подробно воспроизводится метод подпространств, описана удобная на практике графическая реализация алгоритма в терминах логарифмических амплитудных характеристик.

Другая важная задача обработки сигнала в антенне связана с подвижными носителями антенной решетки, а также с изменяющимися условиями приема сигнала. В этой ситуации параметры фильтров необходимо корректировать в соответствии со спектральными свойствами принимаемых сигналов. Разработаны алгоритмы адаптивной фильтрации сигнала при неизвестных спектральных плотностях возмущений, процедура настройки параметров осуществляется при помощи алгоритмов стохастической аппроксимации.

Аналогичные задачи адаптивной фильтрации анализируются в монографии [130]. Использование формирующего фильтра для помех и сигналов в теории Калмана-Бьюси стало серьезным ограничением для ряда приложений, в которых этот фильтр неизвестен. Однако для конкретной помехо- сигнальной обстановки часто можно предполагать, что фильтр известен с точностью до некоторого конечного набора параметров, которые следует подобрать по заданной реализации зашумленного сигнала. Таким образом, возникает задача построения фильтра с оптимальной структурой, в котором неизвестные параметры модели заменены их оценками, формируемыми с помощью той или иной неупреждающей процедуры по заданной реализации зашумленного сигнала. Если удается так организовать процесс оценивания неизвестных параметров, что оценки являются сильно состоятельными (сходятся к оцениваемому параметру с вероятностью, равной единице), то с течением времени фильтр с подстраиваемыми (настраиваемыми) параметрами становится не отличимым от оптимального фильтра. Такой фильтр как бы ``подстраивается'' к конкретной помехо-сигнальной обстановке, поэтому его называют {\it адаптивным\/} фильтром. Теория адаптивной фильтрации получила широкое распространение ввиду важности адаптивных фильтров во многих приложениях. Параметры полезного сигнала и (или) помехи могут медленно изменяться во времени, и классические методы фильтрации, основанные на предположении неизменности параметров модели помехо-сигнальной обстановки, в этих случаях могут оказаться неприемлемыми.

В [130, глава 6] адаптивный фильтр синтезируется как фильтр с настраиваемыми параметрами. Структура этого фильтра выбирается оптимальной по минимуму дисперсии ошибки, а настройка параметров осуществляется при помощи стохастических алгоритмов идентификации, разобранных в [130]. Общие методы синтеза оптимальных фильтров для случайных процессов изложены в [131].

Глава 5 монографии [130] содержит новые результаты о свойствах метода наименьших квадратов (МНК) при идентификации бесконечномерного авторегрессионного уравнения. Хорошо известно, что МНК является сильно состоятельным для линейных авторегрессионных уравнений с конечным числом слагаемых, т.е. оценки сходятся к вектору истинных параметров с вероятностью 1 и в среднеквадратичном.

Прикладная значимость бесконечномерной авторегрессии определяется общностью этого уравнения, которое описывает любые стационарные процессы без особенностей на границе устойчивости. Конечномерные модели авторегрессии этим свойством не обладают и, более того, класс процессов, которые ими описываются, не замкнут относительно сложения. Класс конечномерных ARMA моделей замкнут относительно линейных операций и является обобщением авторегрессии, но его параметры не могут быть определены линейно-квадратичным методом, что снижает практическую ценность.

С другой стороны, известный статистический критерий Акаике рекомендует выбирать количество настраиваемых параметров в стохастической системе пропорционально логарифму от количества измерений. В случае бесконечномерной авторегрессии с нулевыми начальными данными в каждый момент времени количество настраиваемых параметров по МНК совпадает с количеством измерений. Обычно такой объем неизвестных не удается настроить с требуемой точностью, и тем более, не обеспечить сходимость ошибок оценивания к нулю. И действительно, доказано, что стандартный МНК не дает состоятельных оценок. В работе [130] В.Н.Фоминым предложен новый способ выбора начальных ковариаций, которые экспоненциально растут и обеспечивают логарифмическую зависимость интенсивности настройки параметров от количества измерений. Доказано, что регуляризованный таким способом МНК дает состоятельные оценки без какого-либо изменения основной рекурсии.