Подробности
28.01.2010 12:08
Страница 6 из 19

Оптимальное управление

Большой цикл работ, инициированный в середине 60-х годов, был посвящен линейно-квадратичной теории оптимального управления. Ее специализация – разнообразные оптимизационные задачи, сводящиеся к минимизации квадратичного функционала на аффинном пространстве. Начиная с 60-х годов и до настоящего времени она продолжает интенсивно развиваться во всем мире, завоевав репутацию одного из наиболее значимых с практической точки зрения разделов теории оптимального управления.

Центральная идея этого цикла работ – частотная теорема [15-18], являющаяся эффективным средством решения разнообразных линейно-квадратичных задач оптимизации. В частности, синтез оптимального регулятора в дискретной линейно-квадратичной задаче осуществлен на основе частотной теоремы В.А.Андреевым, А.И.Шепелявым [33,34], а также С.Г.Семеновым [35].

В 90-х годах этот цикл работ получил продолжение в исследованиях, посвященных распространению методов классической теории линейно-квадратичной оптимизации на аналогичные задачи с квадратичными ограничениями. Точнее, речь идет об определенном общем подходе, позволяющем стандартным образом строить эффективные алгоритмы решения специальных невыпуклых задач глобальной оптимизации на базе методов линейно-квадратичной теории оптимального управления. В отличие от большинства известных методов невыпуклой глобальной оптимизации, которые в основной массе являются вычислительными, часто основаны на эвристических идеях и не всегда сопровождаются гарантией сходимости, упомянутые алгоритмы основаны на математической теории, являются в наиболее существенной части аналитическими и гарантированно приводят к нахождению глобального оптимума. Обсуждаемый метод был предложен В.А.Якубовичем в 1992 г. [36-37]. Его дальнейшее развитие получено в работах А.С.Матвеева и В.А.Якубовича. По этой теме А.С.Матвеев защитил докторскую диссертацию.

Определенный этап развития теории линейно-квадратичной оптимизации отражен в монографии [35].

В конце 70-х годов В.А.Якубовичем был предложен оригинальный "абстрактный" подход к построению теории оптимального управления. Его особенность состоит в разработке общей схемы, позволяющей единообразно и относительно просто получать необходимые условия оптимальности программных управлений (как правило, в виде "принципов максимума", аналогичных принципу максимума Понтрягина) для широкого класса систем, описываемых самыми разными уравнениями (дифференциальными, интегральными, в частных производных, с запаздывающим аргументом и другими) при разных типах ограничений. Развитию упомянутого подхода посвящен обширный цикл работ В.А.Якубовича и его учеников. Определенные итоги этого развития подведены в монографии [38] и учебном пособии [39].

Получил развитие "абстрактный" подход и для линейно-квадратичной задачи оптимального управления [40].

В начале и середине 80-х годов А.Е.Барабановым решена задача синтеза оптимального регулятора при равномерно ограниченных возмущениях. На ее основе построена новая теория L1-оптимального управления. Результаты, полученные А.Е.Барабановым и О.Н.Граничиным по этой тематике [41], впервые были опубликованы в [35]. Более развернутая теория L1-оптимизации приведена в [32]. В конце 80-х годов А.Е. Барабановым исследована проблема синтеза устойчивого регулятора в линейно-квадратичной задаче оптимального управления. Оказалось, что ответом в этой задаче, поставленной для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, служит внутренняя сингулярная функция класса Харди. Этот же результат получен в двойственной задаче сопровождения движущейся цели. В начале 90-х А.Е. Барабановым начато исследование полиномиальных методов синтеза оптимальных систем управления. Им получены разнообразные результаты [42] (критерий управляемости пар полиномиальных матриц, алгебраическая связь решений уравнения Лурье – Риккати общего вида с полиномиальным уравнением Риккати и с уравнением факторизации передаточных функций исходного объекта управления, решение задачи для систем с запаздыванием по управлению и по выходу, полное исследование основного вычислительного алгоритма , основанного на последовательном сокращении матричных полиномиальных множителей).

Нелинейные задачи оптимального управления стохастическими объектами, описываемые уравнениями Ито, изучались Н.Г.Докучаевым. В последние годы его исследования распространены на задачи из классической теории случайных процессов, включая локальные времена и распределения немарковских процессов, а также задачи математической экономики. По результатам этих исследований Н.Г.Докучаевым подготовлена докторская диссертация.